Мощность континуума

$$|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$$

Ясно, что $|\mathbb{R}| = |(0, 1)|$, так как $f(x) = \dfrac{1}{\pi} \operatorname{arctg} x + \dfrac{1}{2}$ является биекцией $\mathbb{R}$ на $(0, 1)$ $2^{\aleph_0}$ — это мощность множества $2^{\mathbb{N}}$ (множества всех подмножеств натуральных чисел). Достаточно доказать равномощность $(0, 1)$ и $2^{\mathbb{N}}$. **Докажем инъекцию $f \colon (0, 1) \to 2^{\mathbb{N}}$** Любое $x \in (0, 1)$ представимо **двоичной** дробью $x = 0.x_1 x_2 \ldots x_n \ldots$. Положим $f(x) = \{n \mathpunct{:} x_n = 1\}$; тогда $f \colon (0, 1) \to 2^{\mathbb{N}}$ — инъекция. **Докажем инъекцию $g \colon 2^{\mathbb{N}} \to (0, 1)$** Любое $A \subseteq \mathbb{N}$ имеет характеристическую функцию $\chi_A(n) = [n \text{ принадлежит } A]$. (Скобка Иверсона $[\text{высказывание}]$ конвертирует ИСТИНА/ЛОЖЬ в $1/0$) Положим $g(A)$ равным числу $x$, имеющему **троичную** запись $x = 0.x_1 x_2 \ldots x_n \ldots$, где $x_n = \chi_A(n)$. Следовательно, $g \colon 2^{\mathbb{N}} \to (0, 1)$ — инъекция. По теореме Бернштейна-Кантора: $|(0, 1)| = |2^{\mathbb{N}}|$. Таким образом, $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$. $\square$